摘要：为能够准确、有效地揭示轴承间隙与柔性特征对机构动态误差的影响规律，基于多体动力学理论与 Hertz 接触理论，提出一种计及轴承间隙与柔性特征影响的多体系统建模方法。该方法采用力约束替代运动约束，构建多体系统环境下的轴承精细化模型。基于该方法，可深入揭示轴承微观动力特性与多体系统宏观动态性能及运动精度之间的映射关系。在此基础上，以含深沟球轴承的曲柄滑块机构为仿真算例，分析轴承间隙与柔性特征对该机构运动位置与速度误差的影响规律。研究表明，轴承内外圈中心形成的相对偏心轨迹的变化特征是由多体系统动态环境下的轴承受载特性决定的；在轴承偏心影响下的机构运动位置与速度误差大小会随曲柄转角位置不同而变化。

　　关键词：轴承 动态误差 间隙 多体动力学

　　前言*轴承不仅是构成机械系统转动运动副的核心部件，同时作为承载元件其性能优劣对系统的安全、有效运行起着决定性作用[1]。在传统多体动力理论中，各种运动副模型的建立往往采用运动学约束，即认为运动副是理想的，忽略了真实运动副中的间隙、柔性及各种非线性因素的影响。随着现代机构，如工业机器人、国防自动化装备及航天机构等向高速、重载、精密化方向发展，关节滚动轴承运动副的间隙与柔性特征对机构动态性能及运动精度的影响已不容忽视。

　　近年来，国内外众多学者围绕机构运动误差分月轴承间隙及柔性特征对机构动态误差的影响分析 31析开展了大量研究，相继提出了多种机构运动误差分析方法，如基于无限小线性变换原理的矩阵求解法[2]、基于作用线增量原理的传递矩阵法[3]及基于虚位移原理的机构位姿误差数值计算法[4]等。专门针对运动副间隙问题，文献[5-7]提出了基于概率统计思想的机构误差分析方法，即认为构成回转运动副的销轴中心可以在间隙圆内任意位置上，其位置分布符合概率统计规律，如均匀分布、正态分布等。

　　该类方法便于研究机构位姿误差对间隙随机性的敏感性，但涉及到间隙对机构高阶动态特性，如速度、加速度等方面的研究却显得不足。郭鹏飞等[8]基于Dubowsky碰撞铰模型及Monte Carlo概率统计方法，通过直接求解含间隙机构动力学方程，分析了间隙误差对机构输出的影响。为了能更准确地描述间隙副微观动力特性，RAVN[9]与FLORES等[10-11]相继提出了基于连续接触力模型的含间隙副多体系统建模方法，该方法可深入揭示间隙副元素之间的接触、分离及碰撞等动力学现象。然而，将该方法直接应用于机构动态误差分析，往往存在求解精度与计算效率之间的矛盾。此外，针对关节柔性问题，相关研究仅集中于关节传动环节的扭转柔性方面，如章定国等[12]将柔性铰简化为一个线性扭转弹簧，分析了柔性效应对机器人动力学响应的影响。

　　游斌弟等[13]推导了柔性关节动态误差的动力学方程，分析了柔性关节转角动态误差对星载天线扰动的影响。目前，针对载荷作用下关节滚动轴承径向弹性变形引起的机构运动误差的研究很少。

　　本文针对以上研究情况，为了能够准确、有效地揭示轴承间隙及柔性特征对机构动态误差的影响规律，基于多体动力学理论及 Hertz 接触理论，提出一种计及轴承间隙与柔性特征影响的多体系统建模方法。在此基础上，以含深沟球轴承的曲柄滑块机构为仿真算例，通过建立并求解系统动力学方程，分析轴承间隙与柔性特征对该机构运动位置与速度误差的影响。本文的研究工作对一大类含关节滚动轴承的现代精密机构如关节型工业机器人、大型空间机械臂的动态误差分析具有理论指导意义，并具有一定的工程应用价值。

　　1 含关节滚动轴承多体系统建模通常而言，滚动轴承是由一系列滚动体、保持架及内外圈构成。在多体系统中建立精细的滚动轴承模型，并计及轴承间隙、部件之间的弹性接触及各种非线性因素的影响，无疑会增加系统建模及求解的难度。基于此，本研究做以下简化假设。

　　(1) 假设滚动体均匀分布在轴承内外圈上且转速相同，忽略滚动体与内外圈滚道之间滑动现象。

　　(2) 假设轴承外圈与被连接刚体的衬套固连，内圈与被连接刚体的轴颈固连。

　　(3) 忽略轴承内外圈弹性变形，假设滚动体与内外圈滚道之间只存在局部弹性接触变形。

　　基于多体动力学理论，建立滚动轴承运动副模型

　　式中 i x , i y ——刚体连体坐标系原点平移坐标i ——刚体连体坐标系相对于广义坐标系的旋转角度图 1 含关节滚动轴承多体系统建模图1中，ir , j r 为刚体连体坐标系原点Oi 与Oj 在广义坐标系下的位置矢量， Pis , Pj s 为轴承内外圈中心 Pi 与 Pj 在连体坐标系中的位置矢量， Pir , Pj r 为轴承内外圈中心 Pi 与 Pj 在广义坐标系下的位置矢量，Qir , Qj r 为接触点Qi 与 Qj 在广义坐标系下的位置矢量，e 为偏心矢量， j 为刚体 j 连体坐标系相对于广义坐标系的旋转角度。

　　式(2)对时间 t 求导，可得 Pi 与 Pj 点的速度矢量, P Pk k kk r r As   k ij    (3)

　　式中 Pir , Pj r ——轴承内外圈中心 Pi 与 Pj 点的速度矢量32 机 械 工 程 学 报 第 48 卷第 7 期期ir , j r ——刚体 i 与刚体 j 的速度矢量Ai , Aj ——转换矩阵对时间的导数考虑轴承间隙与柔性后，运动中的轴承内外圈中心 Pi 与 Pj 会产生相对偏移，偏心矢量e 与相对偏心速度矢量

　　当偏心幅值大于轴承间隙时，轴承会承受径向载荷作用。显然，轴承径向载荷分布特性受偏心矢量 e 、间隙 Pd 及滚动体位置角r 的影响。图 2 中， x e , y e 为偏心矢量e 在 x 与 y 方向上的分量，  r 为滚动体在位置角r 方向的径向偏移。

　　图 2 轴承偏心与载荷分布考虑到各滚动体在轴承内外圈滚道上均匀分布且转速相同，因此，第 r 个滚动体在任意时间 t时的转角位置

　　式中 Nb ——滚动体个数m ——滚动体公转角速度如图 2 所示，由轴承偏心引起的滚动体在位置角 r 方向的径向偏移  r 及相对偏心速度 r v 可表示为d1 cos sin2 rx ry r     ee Pcos sin rx ry r vv v     (8)

　　式中， x v , y v 为相对偏心速度v 在 x 与 y 方向上的分量。

　　根据 Hertz 接触理论，并考虑到阻尼的影响，滚动体与轴承内外圈滚道之间的受力可表示为n Frrr   k cv   (9)

　　式中 k, c——滚动体与轴承内外圈接触的总刚度与总阻尼n ——载荷—变形指数，对于球轴承，n =3/2，对于滚子轴承，n =10/9以深沟球轴承为例，滚动体与轴承内外圈滚道之间的接触刚度可采用式(10)计算[1] 322 *1,2 121 2 213Ek            (10)

　　式中 1 k , 2 k ——球分别与内外滚道之间的接触刚度E , ——弹性模量与泊松比 ——量纲一变形影响因子 ——接触点处的曲率和考虑到轴承弹性变形是由滚动体与轴承内外滚道之间的接触变形两部分构成，因此滚动体与内外滚道之间的接触总刚度可计算为32 2 23 31 21 1 kk k                  (11)

　　此外，建模中仅计入了轴承油膜阻尼的影响

　　式中 1c , 2 c ——球分别与内外滚道之间的油膜阻尼r ——接触区域半径 ——最小油膜厚度 ——绝对粘度考虑到滚动体与内外圈同时接触后，总阻尼可计算为1 21 2c ccc c   (13) 月 2012 年 4 月 许立新等：轴承间隙及柔性特征对机构动态误差的影响分析 滚动体与轴承内外圈滚道之间不发生接触，此时接触力 0 Fr  ；当 0  r  时，滚动体与轴承内外圈滚道之间发生接触，在接触点将产生力的作用。

　　在广义坐标系下，滚动轴承运动副的等效约束力可由每个滚动体所受弹性接触力求得，其计算表达式为bb1cos1,2, , sinN x rry r rFF r NF                   (15)

　　在等效约束力作用下，由轴承连接的刚体 i 与刚体 j 的受力情况如图 3 所示。图 3 中， ix d , iy d 为接触点Qi 相对刚体 i 质心在 x 与 y 方向上的距离，i Qxi i dxx   ， i Qy i i dyy   ； jx d , jy d 为接触点Qj 相对刚体 j 质心在 x 与 y 方向上的距离， j Qxj j dxx   ，j Qy j j dyy。

　　式中， m 为系统质量矩阵，q 为约束方程雅可比矩阵，q为广义加速度矢量，F 为广义外力矢量，为拉格朗日乘子，矢量   q q γ    q q   2qtq  tt ，下标 q，t 表示对 q，t 求导。关于式(18)，可采用Matlab 软件编制程序求解，其计算流程如图 4 所示。

　　图 4 中， 0 q 为对应初始时间 0t 的广义坐标初值， 0 q为对应初始时间 0t 的广义速度初值，tend 为结束时间。

　　图 4 计算流程图2 算例分析与结果讨论建立含滚动轴承的曲柄滑块机构多体动力学模型如图 5a 所示。模型中，曲柄与连杆之间由深沟球轴承(SKF98205)连接。图 5b 给出了曲柄滑块机构及轴承各滚动体在初始时刻的初始位置，假设曲柄与连杆同位于水平方向，且轴承内外圈中心重(14)

　　34 机 械 工 程 学 报 第 48 卷第 7 期期合。该曲柄滑块机构的几何与惯性参数如表 1 所示。

　　表 2 给出了深沟球轴承结构参数与材料属性。

　　图 5 曲柄滑块机构及其初始位置表 1 曲柄滑块机构几何与惯性参数刚体 长度 l/mm 质量 m/kg 转动惯量 J/(kg•mm2)

　　曲柄 50 0.30 100连杆 120 0.21 250滑块 — 0.14 —表 2 滚动轴承结构参数与材料属性(SKF98205)

　　参数 取值内圈内径 D1 /mm 25外圈外径 D2 /mm 52节圆直径 md /mm 37.9内圈滚道直径 1 d /mm 29.2外圈滚道直径 2 d /mm 46.6球直径 D /mm 8.7径向间隙 Pd /mm 0.01球数 Nb /个 8弹性模量 E/GPa 207泊松比  0.3在曲柄滑块机构运动中，由于计入了轴承间隙及接触弹性的影响，因此轴承内圈中心与外圈中心会形成相对偏心轨迹。图 6 给出了在曲柄转速为1 200 r·min–1条件下轴承内外圈中心的相对偏心轨迹。可以发现，在不同运动周期相对偏心轨迹并不完全重合，这主要是由轴承系统的非线性动力学特性引起的。

　　此外，图 7 给出了理想运动副条件下(刚体之间通过运动学约束连接)，运动副约束力矢量的变化情况。通过对比发现，轴承内外圈中心形成的相对偏心运动轨迹与理想运动副条件下的铰链约束力矢量变化轨迹极其相似。该结果表明，轴承内外圈中心形成的相对偏心轨迹的变化特征是由多体系统动态环境下的轴承受载特性决定的。

　　图 6 相对偏心轨迹图 7 运动副约束力矢量变化轨迹在曲柄滑块机构运动过程中，由于轴承存在偏心，势必会对机构的运动精度产生影响。图 8 给出了计及滚动轴承间隙与柔性影响的滑块实际位移响应(曲柄转速 1 200 r·min–1)。可以发现，滑块的实际运动位移与理论位移存在偏差。

　　图 8 滑块运动位移图 9 给出了不同曲柄转速(300～2 400 r·min–1)

　　下滑块位置误差的统计结果。可以发现，随着曲柄转速的提高，滑块的位置误差幅值逐渐增大。在曲柄转角 0°及 180°(水平位置)附近，滑块的位置误差幅值最大。相反，在曲柄转角 72°及 288°附近，月 2012 年 4 月 许立新等：轴承间隙及柔性特征对机构动态误差的影响分析 35滑块的位置误差幅值最小。此外，还可以发现，随着曲柄转速的提高，滑块位置误差幅值的波动比较大，这主要是由高速条件下轴承系统的复杂动态响应引起的。

　　滑块运动位置误差给出了曲柄转速 1 200 r·min–1条件下，滑块运动速度响应情况。图 11 给出了不同曲柄转速下滑块运动速度误差的统计结果。可以发现，在曲柄转角 72°及 288°附近，滑块的运动速度误差幅值最大。

　　图 10 滑块运动速度图 11 滑块运动速度误差3 结论(1) 基于多体动力学理论与 Hertz 接触理论，提出了一种计及轴承间隙与柔性特征的多体系统建模方法。基于该方法，可分析轴承间隙及柔性特征对机构动态误差的影响规律。

　　(2) 研究表明，轴承内外圈中心形成的相对偏心轨迹的变化特征是由多体系统动态环境下的轴承受载特性决定的；在轴承偏心影响下的机构运动位置与速度误差大小会随曲柄转角位置不同而变化。

　　(3) 基于本文提出的计及关节滚动轴承影响的多体系统建模一般理论与方法，可进一步揭示轴承微观动力特性、受载特性及结构特征与多体系统宏观动态性能、运动精度之间的映射关系，并应用于关节滚动轴承的动态设计、结构优化及性能评价。

　　这是本研究下一步要做的工作。

　　参 考 文 献

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